جواب کاردرکلاس صفحه 102 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۰۲ حسابان یازدهم سلام! برای محاسبه این مقادیر، باید از **روابط بین نسبت‌های مثلثاتی زوایای دلخواه با زوایای حاده (مرجع)** استفاده کنیم. 🎯 --- ### الف) $\sin (۲۱۰^{\circ})$ **۱. ربع زاویه**: $۲۱۰^{\circ}$ در ربع **سوم** ($۱۸۰^{\circ} < ۲۱۰^{\circ} < ۲۷۰^{\circ}$) قرار دارد. سینوس در ربع سوم **منفی** است. **۲. زاویه مرجع ($\alpha$):** $۲۱۰^{\circ} - ۱۸۰^{\circ} = ۳۰^{\circ}$. **۳. محاسبه**: از رابطه $\mathbf{\sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha}$ استفاده می‌کنیم. $$\sin (۲۱۰^{\circ}) = \sin (۱۸۰^{\circ} + ۳۰^{\circ}) = -\sin ۳۰^{\circ} = \mathbf{-\frac{۱}{۲}}$$ --- ### ب) $\tan (-\frac{۷\pi}{۶})$ **۱. رفع قرینه**: تانژانت یک **تابع فرد** است: $\mathbf{\tan(-\theta) = -\tan \theta}$. $$\tan(-\frac{۷\pi}{۶}) = -\tan(\frac{۷\pi}{۶})$$ **۲. ربع زاویه مرجع**: $\frac{۷\pi}{۶} = \pi + \frac{\pi}{۶}$ در ربع **سوم** قرار دارد. تانژانت در ربع سوم **مثبت** است. **۳. زاویه مرجع**: $\frac{\pi}{۶}$. **۴. محاسبه**: از رابطه $\mathbf{\tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha}$ استفاده می‌کنیم. $$-\tan(\frac{۷\pi}{۶}) = -\tan(\pi + \frac{\pi}{۶}) = -(\tan(\frac{\pi}{۶}))$$ $$= -(\frac{\sqrt{۳}}{۳}) = \mathbf{-\frac{\sqrt{۳}}{۳}}$$ --- ### پ) $\cot (۱۳۵^{\circ})$ **۱. ربع زاویه**: $۱۳۵^{\circ}$ در ربع **دوم** ($۹۰^{\circ} < ۱۳۵^{\circ} < ۱۸۰^{\circ}$) قرار دارد. کتانژانت در ربع دوم **منفی** است. **۲. زاویه مرجع**: $۱۸۰^{\circ} - ۱۳۵^{\circ} = ۴۵^{\circ}$. **۳. محاسبه**: از رابطه $\mathbf{\cot (\pi - \alpha) = -\cot \alpha}$ استفاده می‌کنیم. $$\cot (۱۳۵^{\circ}) = \cot (۱۸۰^{\circ} - ۴۵^{\circ}) = -\cot ۴۵^{\circ} = \mathbf{-۱}$$ --- ### ت) $\sin (\frac{۳\pi}{۴})$ **۱. ربع زاویه**: $\frac{۳\pi}{۴} = \pi - \frac{\pi}{۴}$ در ربع **دوم** قرار دارد. سینوس در ربع دوم **مثبت** است. **۲. زاویه مرجع**: $\frac{\pi}{۴}$. **۳. محاسبه**: از رابطه $\mathbf{\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha}$ استفاده می‌کنیم. $$\sin (\frac{۳\pi}{۴}) = \sin (\pi - \frac{\pi}{۴}) = \sin (\frac{\pi}{۴}) = \mathbf{\frac{\sqrt{۲}}{۲}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۱۰۲ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت برای استخراج **روابط کلی تبدیل زوایا** به زوایای مرجع (بر حسب $\theta$) و تعیین **علامت** آن‌ها در ربع‌های مختلف است. ما این روابط را بر اساس قرینه بودن نقاط روی دایره مثلثاتی استخراج می‌کنیم. 🎯 ### مفاهیم اصلی * $\mathbf{\alpha = \pi + \theta}$ (ربع سوم): مختصات $(-\cos \theta, -\sin \theta)$ * $\mathbf{\alpha = ۲\pi - \theta}$ (ربع چهارم): مختصات $(\cos \theta, -\sin \theta)$ * $\mathbf{\alpha = ۲k\pi + \theta}$ (همان ربع $\theta$): مختصات $(\cos \theta, \sin \theta)$ ### تکمیل جدول | زاویه | $\mathbf{\alpha = \pi - \theta}$ | $\mathbf{\alpha = \pi + \theta}$ | $\mathbf{\alpha = ۲\pi - \theta}$ | $\mathbf{\alpha = ۲k\pi + \theta}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **انتهای کمان** | ربع دوم | **ربع سوم** | **ربع چهارم** | **ربع اول** | | **تصویر در دایره و علامت** | | | | | | $\sin \alpha$ | $\checkmark (+)$ | $\mathbf{-} \quad (\times)$ | $\mathbf{-} \quad (\times)$ | $\mathbf{+} \quad (\checkmark)$ | | $\cos \alpha$ | $\times (-)$ | $\mathbf{-} \quad (\times)$ | $\mathbf{+} \quad (\checkmark)$ | $\mathbf{+} \quad (\checkmark)$ | | $\tan \alpha$ | $\times (-)$ | $\mathbf{+} \quad (\checkmark)$ | $\mathbf{-} \quad (\times)$ | $\mathbf{+} \quad (\checkmark)$ | | $\mathbf{\sin \alpha}$ | $\sin (\pi - \theta) = \sin \theta$ | $\mathbf{\sin (\pi + \theta) = -\sin \theta}$ | $\mathbf{\sin (۲\pi - \theta) = -\sin \theta}$ | $\mathbf{\sin (۲k\pi + \theta) = \sin \theta}$ | | $\mathbf{\cos \alpha}$ | $\cos (\pi - \theta) = -\cos \theta$ | $\mathbf{\cos (\pi + \theta) = -\cos \theta}$ | $\mathbf{\cos (۲\pi - \theta) = \cos \theta}$ | $\mathbf{\cos (۲k\pi + \theta) = \cos \theta}$ | | $\mathbf{\tan \alpha}$ | $\tan (\pi - \theta) = -\tan \theta$ | $\mathbf{\tan (\pi + \theta) = \tan \theta}$ | $\mathbf{\tan (۲\pi - \theta) = -\tan \theta}$ | $\mathbf{\tan (۲k\pi + \theta) = \tan \theta}$ | | $\mathbf{\cot \alpha}$ | $\cot (\pi - \theta) = -\cot \theta$ | $\mathbf{\cot (\pi + \theta) = \cot \theta}$ | $\mathbf{\cot (۲\pi - \theta) = -\cot \theta}$ | $\mathbf{\cot (۲k\pi + \theta) = \cot \theta}$ | ---

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۱۰۲ حسابان یازدهم سلام! برای استفاده از روابط مثلثاتی زوایای قرینه ($\mathbf{-\theta}$)، باید از **ستون ربع چهارم** (یعنی $\mathbf{\alpha = ۲\pi - \theta}$) در جدول فعالیت ۲ کمک گرفت. 🎯 ### ۱. ستون مورد استفاده ستون $\mathbf{\alpha = ۲\pi - \theta}$ (ربع چهارم). ### ۲. دلیل زوایای $\mathbf{-\theta}$ و $\mathbf{۲\pi - \theta}$ در دایره مثلثاتی **یک نقطه انتهایی یکسان** دارند. به عبارت دیگر، هر دو زاویه **هم‌انتها** هستند: $$\mathbf{-\theta \text{ و } ۲\pi - \theta \text{ هم‌انتها هستند.}}$$ چون این دو زاویه هم‌انتها هستند، **نسبت‌های مثلثاتی آن‌ها کاملاً با هم برابر است**. $$\mathbf{\sin(-\theta) = \sin(۲\pi - \theta) = -\sin \theta}$$ $$\mathbf{\cos(-\theta) = \cos(۲\pi - \theta) = \cos \theta}$$ بنابراین، می‌توان روابط به دست آمده برای $\mathbf{۲\pi - \theta}$ (ستون چهارم) را عیناً برای زوایای قرینه $\mathbf{-\theta}$ استفاده کرد.